拉格朗日中值定理和积分中值定理是一回事么
积分中值定理与拉格朗日定理是两个不同的定理，积分中值定理是积分上的一个定理，拉格朗日定理是微分上的一个定理（罗尔定理是中值定理的特殊情况）。具体看看两个定理的内容。
1、积分中值定理：
证明：
因为 f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数，设 f(x)的最大值及最小值分别为 M及 m，于是
m≦f(x)≦M
将上式同时在 [a,b]区间内积分，可得积分中值定理m(b-a)≦∫下限a上限 b f(x) dx≦M(b-a)
即 m≦∫下限a上限 b f(x) dx/(b-a)≦M
因为 m≦f(x)≦M是连续函数，由介值定理，必存在一点ξ，使得
∫下限a上限 b f(x) dx/(b-a)= f(ξ)
即∫下限a上限 b f(x) dx= f(ξ)(b-a)
2、第二积分中值定理:
推论
若(1)f(x)在[a,b]单调,
(2)g(x)在[a,b]可积,
则存在c属于开区间(a,b),使 f(x)g(x)在[a,b]积分值等于f(a+0)乘以g(x)在[a,c]积分值与f(b-0)乘以g(x)在[c,b]积分值之和.
3、拉格朗日定理
关于拉格朗日中值定理与积分中值定理的区别
一、反映内容不同：
1、拉格朗日中值定理：
反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
2、积分中值定理：
揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分。
二、作用不同：
1、拉格朗日中值定理：
可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。
2、积分中值定理：
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。
扩展资料
在大多数的积分式中，能找到其被积函数的原函数再进行求值的积分简直是凤毛麟角，当被积函数“积不出”或者原函数很复杂时，可用各种方法来估计积分，对于乘积型的被积函数，将变化缓慢的部分或积分困难的部分进行估计，可积的部分积分之。积分中值定理和各种不等式就是其中常用的方法。
拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。
参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理
参考资料来源：百度百科-积分中值定理
微分中值定理和拉格朗日中值定理有什么不同
两者是包含关系，微分中值定理是一些定理的总称，包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理。这就是两者最直观的不同。
微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。微分中值定理反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，应用十分广泛。
拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线。
扩展资料：
函数的微分是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。
如果函数f(x)及F(x)满足：
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x∈(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立
[中值定理]分为：微分中值定理和积分中值定理：
以上三个为微分中值定理定积分第一中值定理为：
f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得该式成立）
注：积分中值定理可以根据介值定理推出所以同样ξ∈[a,b]都为闭区间。
对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。
拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。
参考资料：百度百科——微分中值定理
参考资料：百度百科——拉格朗日中值定理
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