博弈论******伯特兰德悖论***Bertrand***Paradox***
博弈论中的伯特兰德悖论(Bertrand Paradox)揭示了一个看似简单却与现实相悖的理论模型。伯特兰德模型通常假设寡头厂商通过价格竞争，产品完全可替代，且不存在串谋。在这种理想化的条件下，模型预测价格竞争会一直持续到每个厂商的价格等于其边际成本，形成均衡，即每个厂商的市场份额与其边际成本成正比，且长期经济利润为零。
然而，这种理论与实际情况存在严重冲突。首先，现实中产品并非完全同质，差异化策略可以避免直接的价格战。其次，生产能力限制和市场需求的现实情况往往意味着价格不会降至边际成本，企业会选择在一定程度上保持利润空间。再者，假设下的无串谋行为在实际中并不可行，寡头之间可能存在某种形式的定价协调，这将影响价格竞争的结果。
总结来看，伯特兰德模型尽管提供了价格竞争的直观理解，但其预测的市场结构与现实市场的复杂性不符，因此被称为悖论。在分析企业竞争时，更为实际的模型如古诺模型或斯塔克尔伯格模型会考虑到更多影响因素，从而给出更贴近现实的分析结果。
伯特兰德模型的评价
伯特兰德模型假设价格为策略性变量而更为现实，但是它所推导出的结果却过于极端；但由于与现实不甚相符而遭到了很多学者的批评。这是我们为什么将其称之为伯特兰德悖论的主要原因。因此，学者们在研究市场中企业的竞争行为时，更多的是采用古诺模型，即用产量作为企业竞争的决策变量。
博弈论——伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)
博弈论——伯特兰德寡头模型(Bertrand Model)
伯特兰德寡头模型是一种价格竞争模型，与古诺模型和斯塔克尔伯格模型不同，它主要关注寡头厂商之间通过价格策略进行竞争的情况。以下是对伯特兰德寡头模型的详细解析：
一、模型建立
在伯特兰德价格博弈模型中，两个寡头厂商生产有一定差别的产品。这些产品虽然在品牌、质量和包装等方面有所不同，但具有很强的替代性，同时又不是完全可替代的。两个厂商是同时决策的，我们假设厂商1生产产品1，厂商2生产产品2。
模型中的关键参数包括：
产品价格：P1、P2分别为厂商1、厂商2的产品价格。潜在市场规模：a1、a2分别为产品1、产品2的潜在市场规模。生产成本：假设两个厂商无固定成本，边际生产成本分别为c1和c2。价格弹性：b1、b2为产品1、产品2的价格弹性。产品的替代系数：d1、d2为两个产品的替代系数。根据这些参数，我们得到以下的需求函数：
厂商1的需求函数：q1= a1- b1P1+ d1P2厂商2的需求函数：q2= a2- b2P2+ d2P1厂商的得益是各自的利润，即销售收益减去成本，可以表示为：
厂商1的得益：π1=(P1- c1)q1=(P1- c1)(a1- b1P1+ d1P2)厂商2的得益：π2=(P2- c2)q2=(P2- c2)(a2- b2P2+ d2P1)二、模型求解
我们使用反应函数法来分析这个博弈。反应函数法是通过求得益函数的偏导数，并令偏导数为0来找到最大值的方法。
对得益函数求偏导，我们得到：
?π1/?P1=-2b1P1+ c1b1+ a1+ d1P2?π2/?P2=-2b2P2+ c2b2+ a2+ d2P1令偏导数为0，我们得到两个厂商的反应函数：
P1= R1(P2)=(c1b1+ a1+ d1P2)/(2b1)P2= R2(P1)=(c2b2+ a2+ d2P1)/(2b2)该博弈的纳什均衡是两条反应函数对应图像的交点(P1*, P2*)，并且这个交点需要满足上述两个反应函数。解这个二元一次方程组，我们可以得到纳什均衡价格P1和P2。
具体的解为：
P1*= [d1(a2+ b2c2)+ 2b2(a1+ c1b1)]/(4b1b2- d1d2)P2*= [d2(a1+ c1b1)+ 2b1(a2+ b2c2)]/(4b1b2- d1d2)(P1*, P2*)为该博弈的唯一纳什均衡。将P1*、P2*代入得益函数中，可以求得两个厂商的均衡得益。
例如，当a1= a2= 28，b1= b2= 1，d1= d2= 0.5，c1= c2= 2时，可以解得P1*= P2*= 20，此时两个厂商的均衡得益均为324。
三、总结
伯特兰德寡头模型揭示了寡头厂商之间通过价格策略进行竞争的情况。在模型中，两个厂商生产有一定差别的产品，并通过调整价格来最大化自己的利润。通过反应函数法，我们可以找到这个博弈的纳什均衡，即两个厂商在均衡状态下的价格策略。
更一般的伯特兰德模型可以有n个寡头，产品也可以是无差别的。当产品无差别时，需要考虑消费者对价格的敏感性问题。因为如果所有消费者对价格都非常敏感，则生产无差别产品的厂商中价格高的一方将完全卖不出去，价格差别不可能存在。对于多寡头伯特兰德模型的分析，可以简单推广为求出每个厂商对其他各个厂商价格的反应函数，并解出它们的交点即可。
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